| Prelegent: | prof. dr hab. Andrzej Cegielski, Instytut Matematyki, Uniwersytet Zielonogórski, e-mail: a.cegielski@im.uz.zgora.pl. |
| Temat: | Metody rzutowe i ich zastosowania w optymalizacji |
| Streszczenie: | Podstawowym pojęciem w metodach rzutowych jest rzut metryczny PC(x) punktu x ∊ H na niepusty podzbiór domknięty i wypukły C przestrzeni Hilberta H (w szczególności przestrzeni euklidesowej). Jest to punkt w zbiorze C najbliższy punktowi x. Wiadomo, że dla dowolnego x∊ H rzut taki istnieje i jest określony jednoznacznie. Wiele problemów praktycznych daje się sprowadzić do znalezienia punktu wspólnego skończonej (ale być może dużej) rodziny zbiorów wypukłych i domkniętych, dla których łatwo jest wyznaczyć rzuty metryczne na poszczególne zbiory (bądź ogólniejsze operatory o podobnych własnościach), ale trudno jest wyznaczyć rzut metryczny na ich część wspólną. W metodach rzutowych służących rozwiązaniu tych problemów stosuje się iteracje, które używają kombinacji wypukłych bądź złożenia rzutów metrycznych albo ogólniejszych operatorów. Pierwsza metoda rzutowa została zaproponowana przez polskiego matematyka Stefana Kaczmarza w roku 1937. Służy ona rozwiązaniu dużego układu równań liniowych, a polega na cyklicznym rzutowaniu na hiperpłaszczyzny odpowiadające poszczególnym równaniom układu. Metoda ta i jej modyfikacje jest do dzisiaj skutecznie stosowana w wielu praktycznych zagadnieniach, jak na przykład w tomografii komputerowej, w radioterapii czy w uczeniu maszynowym. Innymi metodami rzutowymi jest metoda Landwebera i jej modyfikacje służące rozwiązaniu tzw. problemów dopuszczalności rozdzielonej oraz metoda Douglasa-Rachforda stosowana do wyznaczania zer sumy operatorów maksymalnie monotonicznych. W moim referacie przedstawię wspólne cechy tych metod oraz warunki ich zbieżności do rozwiązania. Przedstawię również niektóre problemy praktyczne, które rozwiązuje się tymi metodami. |
